矩形配光设计中的复合抛物面三维同步多表面方法

一、引言
LED（Light Emitting Diode）是一种能够将电能转化为光能的半导体器件，具有尺寸小、寿命长（5万小时以上）、电光效率高（80%~90%）和环保节能等优点。目前已广泛应用于商用照明领域并逐渐抢占LCD背光板、交通信号灯、汽车照明、通用照明和景观照明等市场^[1]。
由于LED是一种朗伯型光源，而非各向同性光源，并且LED光源通常是一种面光源，基于点光源的传统灯具设计方法已难以实现其配光需求，因此有必要研发针对扩展光源的非成像光学设计方法。目前主要有截边法、微分方程法、同步多表面设计法（SMS，Simultaneous Multiple Surface）等，其中SMS法已成为针对扩展光源非成像光学设计的重要方法。SMS设计方法考虑LED端点处发出的边缘光线进行多个表面的同步设计^[2,3]。SMS方法可分为二维和三维两种情况，二维设计方法适用于轴对称配光的光学器件设计，而三维设计适用于非轴对称配光的光学镜头设计，其光学表面通常为自由曲面。
本文工作是对前期二维SMS设计方法^[5]的进一步深化和拓展，针对LED朗伯光源的矩形配光，提出一种三维同步多表面非成像光学设计方法。该方法根据给定辐照度分布，首先利用复合抛物面集光器缩小LED光源发散角，再在二维平面生成一对“脊”线并向两侧生长出“肋”线，最后利用NURBS算法构建自由光学曲面，实现矩形配光的非成像光学设计。本文方法对提高LED配光水平和应用推广具有重要意义。

二、设计原理
^a) 1.边缘光线原理、光学扩展量守恒^[2,3,4]
边缘光线原理（Edge Ray Principle）是非成像光学中最重要的基础原理之一，其主要内容可以简述为：来自面光源边缘的光线经过若干个单调光学器件表面的偏折后射向接收面的边缘，而来自面光源内部的光线也将对应的射向接收面的内部^[2,3]。由于SMS设计方法主要针对扩展光源，考虑LED发出的全部光线且满足设计原理无疑是十分复杂的。根据边缘光线原理，在设计中可以简单地考虑LED光源边缘发出的光线。
光学扩展量一种是描述光学器件通光能力的物理量^[2]。光学扩展量守恒（Étendue Conservation）^[2]是指对于一个理想的非成像光学器件，其出射口的光学扩展量与入射口的光学扩展量相等，应用这一理论可以帮助进行光学器件口径、尺寸等相关参数的计算。
2.流线理论^[2,4]
流线（Flow Line）理论是非成像光学中的又一重要理论。流线的性质是在辐射场中放置一条反射性的流线，并不会改变辐射场的分布情况；对于位于辐射场中两条流线内的光线其光学扩展量守恒。二维SMS设计中生成的上下表面骨架线便是两条流线，光源处的光学扩展量与在经过上下两个光学表面后出口处的光学扩展量相同。在设计中引入流线，为非成像光学设计带来了如下几个方便：1）改变光源的尺寸和位置；2）改变光源特性（如发散或汇聚）；3）改变光源配光特性（如光线发散角等）^[5]。
3.三维同步多表面设计方法
同步多曲面设计方法(SMS)来源于其允许对多个光学表面同时进行设计的性质^[2,4]。应用SMS设计方法可以设计出如下几种光学器件：1）折射/折射（RR）器件；2）折射/反射（RX）器件；3）反射/折射（XR）器件；4）折射/反射/全反射（RXI）器件^[5]。一般情况上述器件都是在二维平面内进行同步轮廓设计，通过绕轴旋转得到光学器件模型，相比之下三维情况的设计则十分复杂。
三维空间的SMS设计以二维设计为基础，光源尺寸已知，首先选定两个轮廓曲线的起始点及其对应的法线方向，在保证光学扩展量守恒的前提下，由起点开始顺序的应用折射或反射定律以确定光线的入射点和该点处的法线方向。根据这一机理，可以在计算机程序的辅助下得到二维平面上的一系列的参数点，这些参数点在空间中便链接成了两条“脊”点链。再根据这两条点链数据向空间中伸出多条“肋”，最终得到一个类似于动物胸腔骨架的结构，根据骨架上各点的坐标数据可以通过NURBS曲面建模生成上下两个光学表面。由于每一根“肋”的生成都由最初在二维情况下得到的“脊”决定，因此将该三维设计方法形象的称为SMS器件的“脊肋”法。

三、三维同步多表面设计
未进行任何初级配光的LED光源可看作是一个朗伯发光体，其光强分布遵循下式：

其中θ为光线与光源法线的夹角,θ∈(0,π/2)。三维情况下，平面光源某面元dA其光学扩展量dU可以表示为：

n为反射器内部介质折射率，dΩ为包含光线的立体角元，dφ为立体角元在光源面上投影的偏向角^[2,5]。对dU积分可得整个光源面的光学扩展量：

A_I为光源面的尺寸。根据光学扩展量守恒，理想非成像光学器件出口处光学扩展量也为U，且，β为出射光线与法线夹角，A_O为光学器件出射面面积。由公式可知，当系统光学扩展量确定后，出射光线的发散角越小，出射面尺寸越大。对于LED光源，必须令XX器件的出射面积足够大以提供较小的光线发散角。XX器件的尺寸包含有效区域和结构区域两部分，利用折射／全反射／反射／折射（即RIXR）的结构，可以最大限度的收集光源的光线，缩小结构区域，从而减小整个光学器件尺寸^[5]。

1.初级配光：CPC设计
复合抛物面集光器（CPC）最初设计用来汇聚由无限远处光源发出的包含在某一立体角内的光线^[2]。根据光路可逆原理，可以将CPC逆向使用作为LED的配光器件^[5,6]，其主要作用是缩小LED光线的发散角。本文以方形LED为光源，不具备轴对称性质，因此考虑设计一种新型非轴对称的CPC配光器件，其光线入口和出口均为方形。
在图1中， x-y平面内的方形区域为LED光源。为简化计算，方形光源在x轴方向上两侧端点分别设定为F₁和F₂。可首先在x-z平面内建立二维CPC，由F₁发出的边缘光线在二维CPC出口处反射后仍为边缘光线，其与水平方向的夹角为α。CPC侧壁具有这样的性质：由光源端点发出的全部边缘光线经侧壁反射后均变为与水平方向夹角为α的平行光线。在x-z平面内，给定焦点F₁，对称轴偏离水平方向角度为α且经过F₂点的抛物线可由以下参数表达式给出：

其中φ为F₁发出的某光线与抛物线对称轴（图1中过F₁的虚线）之间的夹角。由式建立的抛物线经过镜像和截取，可以得到一个二维情况下的CPC轮廓（图1中E₁E₂F₂F₁）。同理在y-z平面内建立相同的CPC轮廓，并将所得的两个CPC轮廓分别沿x、y轴拉伸，将得到如图1所示的CPC结构，该CPC的入口和出口均为方形。由于出口处的面积变大，则根据光学扩展量守恒，出口处的出射光线立体角将变小。若考虑α=145°，光学仿真结果表明该CPC初级配光后的配光曲线如图2所示，三条曲线分别为0°、45°和90°方向上的坎德拉分布。通过方形出口CPC器件初级配光，将光源光线的发散角控制在±45°之间，从而控制XX反射器件的尺寸。
2.次级配光：SMS“脊肋”设计^{[2, 5 ~11]}
初级配光后，LED发出的光线其发散角由±90°缩小到±45°，发光面也由方形LED表面变为CPC出口处的方形“虚光源”，因此在SMS设计中将以该虚源端点为基础进行同步表面设计。如图3所示, e₁、e₂、e₃和e₄分别为该区域的边缘点。


（1）“脊”的生成
在SMS的三维设计中“脊”点链的生成是尤为重要的，因为该点链决定了向空间中伸出的每一条“肋”的起始点及该点处的法线方向。
“脊”点链的生成与二维情况的SMS器件设计相同，需要首先确定如下几个量：1）上反射表面的起始点位置；2）平面波前法向及其夹角β；3）起始点处反射表面的法矢量n；4）光源各端点光线在经过多表面的反射后到达其对应波前所传播的光程^{[5, 7]}。如图3所示，w₂、w₁分别为光源端点e₁和e₂发出的边缘光线经多表面反射器反射后的对应波前，两波前之间夹角β同时也是出射边缘光线的发散角。P_1j是上表面“脊”点链上的一点，当j=1时P_1j即为“脊”点链的起始点。由于n₁₁和波前方向已知，故光线e₂P₁₁关于法线n₁₁的反射光线方向也可以确定，该反射光线同时又是下表面点链Q₁₁点处的入射光线，因此可以根据4）中设定的光程以及反射定律确定出Q₁₁点的位置和该点处的法线方向。同理，根据光源端点e₁发出的边缘光线e₁P₁₁和e₁→w₂的光程，Q₁₂的位置也能够确定。由光学扩展量守恒可得对于光源端点发出并射向上表面点链起始点P₁₁的两条边缘光线有^{[2~5, 10]}：

公式中[A,B]表示点A、B之间的光程，Γ为边缘光线到达对应波前的光程。该系统中，光学扩展量可以用光程差形式表示为^[2]：。为保证系统光学扩展量守恒，对于待确定点链上的任意点P_1j和它所对应的点Q_1j（j为大于0的整数）应满足如下关系：

根据公式可同步计算出上下两条点链，即用于生成“肋”的“脊”点链。
（2）“肋”的生成
在（1）中已经得到了构成同步多表面的两条“脊”点链，该点链由位于同一二维平面内的一系列点连接而成。“脊”生成的同时也得到了每一点处的法线方向，因此在图3中的上表面点链，任一点P_1j都对应一个初始法线方向n_1j。由于设计空间增加了一个维度，需要引入一组新的波前w₃、w₄，波前w₃与w₄夹角为γ（为简化起见令γ=β），如图4所示。“脊”的生成主要根据光源端点e₁、e₂发出的边缘光线完成，而“肋”生成中将主要利用位于另一方向上的光源端点e₃、e₄。
由于上表面起始点P₁₁以及该点处的法向量n₁₁已经确定，因此“肋线”的生成仍以该点为起始并根据n₁₁开始设计。图4中，光源端点E₄对应波前w₄，因此e₄点射向P₁₁点的光线将在Q₁₁点反射并最终射向w₄；端点e₃发出的边缘光线经P₁₁点偏折后射向下表面并最终入射到其对应波前w₃。指定e₄、e₃到其对应波前w₄、w₃的光程为Γ₄、Γ₃，则可以通过下式得到反射点Q₂₁的位置：

再次根据光学扩展量守恒并参照公式{C}{C}便可得到向x-y平面一侧伸出的一组“肋”点链。对于空间中的任意条“肋”点链，都有：
式中P_ij和Q_ij分别为上、下表面第j条“肋”点链上的第i个光线入射点。当i、j取不同数值时便可由公式得到1/4空间内的SMS“脊肋”数据点，通过关于x-y平面和y-z平面内的两次镜像将得到整个空间中的SMS数据，将这些数据通过NURBS曲面建模，最终得到上下两个NURBS曲面。由于前文中已经设计了一种方形出口的CPC器件将LED光源发出的光线控制在±45°范围内，因此需要对SMS的上表面进行裁剪除去多余的自由曲面，尽量降低反射面对光线的遮挡。同时对SMS下表面进行处理以安置光源，处理后通过建模软件对上下表面实体化生成光学器件实体模型。

四、SMS器件仿真和结果分析
1.光学仿真及结果
为了验证以上设计方法的可行性，构建一个由CPC和自由曲面组合的配光系统，其具体参数如下：在方口CPC的入口处设定表面光源属性为朗伯发光体且发射功率为10W，追迹光线为200万条。CPC及SMS表面设置为反射率约为0.94，在近场（0.1m）和远场（1m、5m、10m）处分别插入接收面，用于检测器件的辐照分布情况。图5位于3个位置处接收面上的照度分布情况。
图5中，a、b、c、d分别为为距离光源0.1m、1m、5m和10m处接收面上入射光线的照度分布。通过对比可知在近场（0.1m）处3D-SMS器件形成的照度分布效果一般，为一不均匀亮环；远场情况下，照度图的中心处开始出现明显的方形区域（图5b所示）；随着距离的进一步增加，该方形区域逐渐增大，整个辐照度分布也由近场时的亮环变为方形均匀分布。由图5中c、d可粗略估计，3D-SMS器件在远场处形成的光斑其边长分别约为1m和2m。同时，光学仿真结果还表明，考虑介质吸收和反射损耗的情况下，检测平面接收到的光效约为0.63。


2.照度分布特性及系统光效分析
由SMS器件的设计过程可知，某一截面上光源发出的光线经过光学结构的反射被分为左右两部分出射。由于光束发散角较小，在距离光源较近的区域光强主要集中在两个独立的峰值曲线上，因此近场时照度将呈一亮环分布（图5a）。随着距离的增大，这些峰逐渐扩展并互相叠加，最终呈现辐射照度在检测平面上的均匀分布^[5]。


图6给出的远场照度剖面曲线，可以较准确地评估方形区域的尺寸。由于照度均匀区域仅局限在曲线顶端一定范围内，因此考虑过曲线中间范围内照度最低点做一水平直线并交剖面曲线外侧于两点，将两点间距称为平顶宽度^[5]。图中可发现1m及5m处的照度剖面曲线内部均匀度明显高于10m剖面曲线，因此简单考虑由10m剖面曲线其内部最低照度点所划定的平顶范围，该曲线平顶宽度约为1.16m，宽度范围内的照度均匀度约为0.96。而5m剖面曲线在照度均匀度大于0.96的范围宽度约为0.52m。由于两检测面距离为5m，可根据这些数据计算出该SMS器件的远场边缘光束半发散角：


五、结论
本文提出了一种基于“脊肋”法的三维同步多表面设计方法并构建模型进行了仿真验证，得到良好效果。仿真结果表明，应用该方法构建的三维SMS器件能够在远场处产生规则的方形辐照度分布，考虑损耗时远场接收面上的光效大于0.63；平顶宽度范围内的方辐照度均匀度大于0.96；根据该区域尺寸随光线传播的扩大计算出远场边缘光束半发散角约为3.66°，准直性良好，能够满足准直和投影等应用的要求，对非成像光学相关产业的发展具有重要意义。
 
创新点说明：
1.国内针对自由曲面构建多集中于二维同步多表面法的研究上，对于三维SMS设计方法的研究较少，本文提出一种基于“脊肋”法的三维同步多表面设计法，并取得良好仿真效果。
2.将CPC同同步多表面相结合，大大降低了设计和光学表面加工的难度。
3.为了更好地衡量非成像光学器件的照明效果，提出了“平顶宽度”的概念。
 
参考文献
[1] Zhou Zhimin, Ji Aihua. Design and application of high power LED illumination technology [M]. Beijing: Publishing House of Electronics Industry, 2011:1~10周志敏，纪爱华. 大功率LED照明技术设计与应用[M]. 北京：电子工业出版社, 2011:1~10
[2] JULIO C. Introduction to nonimaging optics [M]. New York: CRC Press.2008:55~116,271~324,471~474
[3] Harald R, Ari R. Edge-ray principle of nonimaging optics[J]. Opt. Soc. Am. A. , 1994,11(10):2627~2632
[4] Roland Winston, Juan C.Miñano, Pablo Benítez. Nonimaging Optics [M]. London: Elsevier Academic Press. 2005:184~221
[5] Zhang Hang, Liang Xue, Yan Jinhua et al. Compound Parabolic Concentrator-Simultaneous Multiple Surfaces Design Methods for LED Collimators[J]. Acta Optica Sinica, 2012, 32(9): 0922004张航,梁雪,严金华等. LED准直器设计中复合抛物面同步多曲面方法[J]. 光学学报, 2012, 32(9): 0922004
[6] Roland Winston，Jeffrey M. Gordon. Planar Concentrators Near The Etendue Limit [J]. Opt. Let, 2005, 30(9):2617~2619
[7] P. Benítez, J.C. Miñano, J. Blen et al.. Simultaneous Multiple Surface Optical Design Method in Three Dimensions [J]. Opt. Eng, 2004, 43(7): 1489~1502
[8] Oliver Dross, Rubén Mohedano, Pablo Benítez et al.. Review of SMS Design Methods and Real World Applications [J]. SPIE. 2004:35~47
[9] Juan C. Miñano, Pablo Benítez et al.. A High Gain，Compact Nonimaging Concentrator—RXI [J].Applied Optics, 1995, 34(34):7850~7856
[10] Fernando Munoz, Pablo Benitez et al.. Simultaneous Multiple Surface Design of Compact Air-Gap Collimators for Light-Emitting Diodes[J]. Opt. Eng, 2004,43(7):1522~1530
[11] Luo Tao, Qian Keyuan, Luo Yi, Research on Luminous-per-Etendue of LED Array Designed for Projector Light Source [J]. Semiconductor Optoelectronics, 2008, 29(1):41~45罗滔，钱可元，罗毅. 面向投影仪的LED阵列单位Etendue光通量的研究[J]. 半导体光电,2008,29(1):41~45